麦克斯韦方程组通俗讲解（用数学的方法来理解麦克斯韦方程组）

如果你对文中的数学和物理毫无兴趣，建议直接跳到文章结尾处，欣赏一下艺术作品。

麦克斯韦（1831-1879），伟大的英国物理学家、数学家

麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪，通过总结高斯、安培、法拉第等前人的研究成果，建立的一组偏微分方程，主要描述了电场和磁场的关系。麦克斯韦方程组里面含有4个方程：高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第电磁感应定律、安培-麦克斯韦定律。按照上面的顺序，麦克斯韦方程组的积分形式如下：

麦克斯韦方程组的积分形式

可能有人看到上面的积分公式，就已经放弃了，请不要立即下结论，其中的物理理论都是高中学过的知识，只要你有中学数学基础，我们就能看懂这个积分方程。

本着从简到难的原则，我们要学习麦克斯韦方程组的积分形式，首先需要必要的数学基础，先解释一下各个符号的含义。考虑到麦克斯韦方程组有一定难度，我们并不打算用正规的数学术语来描述，这里采用最通俗的甚至不太严谨的数学语言来解释，分为以下的A、B、 C、D四个小节——

A)后面两个方程的路径微分dl：

法拉第电磁感应定律、安培-麦克斯韦定律

AB分成无数小的线段，每一份长度就是路径微分记作dl

见上图，如果一个电场E沿着路径AB的方向，路径AB的长度L分成无数的小线段，每一份路径微分记作dl。如果电场E与路径AB方向有夹角，就把电场进行分解，把沿着AB方向的场分量乘以路径长度dl。

闭合线长度L，分成无限小段，每一段dl就是路径微分

同理，见上图，磁场B的路径微分也可以用dl表示。

B)四个方程的面积微分da：

球面微分成了很多小块da

见上图，我们把一个球面分割成了很多块，这样每一个小块就变成了一个长为dx、宽为dy的小方块，这个小方块的面积da=dx·dy，注意上述的dx、dy、da都是微分。

曲面S可以微分成无数小的区域ds(da)

见上图，如果这个小块的电场强度为E，那么通过这个小块的电通量就是E·da，电通量就表示了穿过这个面的电场线根数。如果我们把这个球面分割成了无穷多份，那么把这无穷多个小块的电通量加起来，就能得到穿过这个曲面的总电通量。

同理，微分为小块的磁感应强度为B，那么通过这个小块的磁通量就是B·da，磁通量就表示了穿过这个面的磁力线根数。

C)四个方程的积分运算∫和∮：

麦克斯韦方程的全部四个方程

符号∫和∮的作用都是积分，见上图，它们的区别是：∫表示是对任意形式的线、面、空间进行积分，∮表示是对闭合路径或闭合曲面进行积分。

电流I的电场，产生磁场B

见上图，∮c表示对长度为c的环形闭合路径L的进行积分，方程组中最后一个方程中左边的∮c B·dl就表示：磁感应强度为B、总长度为c的环形磁场回路中，将路径l分为无数小段dl，对dl累加起来并与B的乘积。简单的说∮c B·dl就是对磁场进行路径积分，可以理解为磁场对电荷所做的功。

同理，第三个方程中∮c E·dl是对电场进行路径积分，可以理解为电场对电荷所做的功，或者是这个闭合路径上的电动势。

电场线总会穿过曲面S

见上图，∮s表示对面积为s的曲面进行积分，将无数个微分的小区域ds累加求和，第一个方程中的∮s E·da就表示：电场强度为E、总面积为s的曲面中，将曲面s分为无数小块da（图中标为ds），对da累加起来并与E的乘积。简单的说∮s E·da就是对电场进行曲面积分，因为电通量是E·da，∮s E·da表示了就表示了穿过这个S面的电场线总数(或者说是通过S面的总电通量）。

同理，∮s B·da是对磁场进行曲面积分，因为磁通量是B·da，∮s B·da表示了就表示了穿过这个S面的磁力线总数(或者说是通过S面的总磁通量）。

D)最后两个方程的偏导运算∂：

法拉第电磁感应定律、安培-麦克斯韦定律

磁场B产生了电场E

见上图，磁场产生了电场，其函数是f(B)=f(x,y,t)，包括了磁场穿过平面的坐标x,y和时间t这三个变量，但是我们将x,y变量视作常数，磁场B只对时间t求导（就是微分的意思），表示多元函数只对其中一个变量求微分，这就是偏导（或者说是偏微分）的数学含义，我们就可以将这种偏导函数写作∂B/∂t，表示单位时间内磁场的变化，简单的说就是磁场的变化率。

同理，∂E/∂t就是电场的变化率。

在掌握了上述基本数学语言后，我们现在就可以开始学习麦克斯韦方程组。

1-麦克斯韦方程一：高斯电场定律

高斯电场定律

ε0是真空中的介电常数，方程右边带enc下标的Q表示闭合曲面内包含的电荷总量，E是电场强度，da是曲面的面积微分。

电荷q不论在什么位置，总会产生电场E

见上图，电荷q会在周围空间产生电场E，正电荷会向外发射电场线，负电荷会从周围吸收电场线。电荷的电量越大，所发射或者吸收的电场线越多。如果我们用一个闭合曲面S包围住一个电荷，那么这个闭合曲面S上的电场通量就代表了电场线的根数。由于这些电场线都是由曲面内的电荷发射出来的，所以它正比于曲面内所有电荷的代数和。

高斯电场定律

高斯电场定律的数学表达：电场强度E与该电场的曲面S的面积da的积分相乘，等于电场内的电荷总量。

高斯电场定律的物理意义：通过闭合曲面的电通量（即穿过这个面的电场线根数），跟这个曲面包含的电荷量成正比。

高斯电场定律更深层次的意义：电场是有源场，源就是空间中的电荷。

2-麦克斯韦方程二：高斯磁场定律

高斯磁场定律

B是磁感应强度，da是曲面的面积微分。

磁感线总是从N极指向S极

见上图，自然界中有独立存在的正负电荷，电场线都是从正电荷出发，汇集在负电荷。但是自然界里并不存在独立的磁单极子，任何一个磁体都是南北两极共存。所以，磁感线跟电场线不一样，它不会存在一个单独的源头，也不会汇集到某处，它只能是一条闭合的曲线。

高斯磁场定律

高斯磁场定律的数学表达：磁感应强度B与磁场的曲面S的面积da的积分相乘，等于零。

磁感线穿透闭合曲面

见上图，如果空间有一个闭合的曲面，磁感线要么不穿透这个曲面，要么一定是既穿入这个曲面又穿出这个曲面，因此磁感线的通量为零。

高斯磁场定律的物理意义：通过闭合曲面的磁通量（即穿过这个面的磁场线根数），恒等于零。

高斯电场定律更深层次的意义：磁场是无源的，既没有起点也没有终点，总是闭合的。

3-麦克斯韦方程三：法拉第电磁感应定律

法拉第定律

上面的方程也可以写成以下形式，可能大家更好理解，即方程右边的偏导运算∂直接写成微分形式d，理由比较复杂，这里就不详述了。

法拉第定律另外的一种写法

E是电场强度，B是磁感应强度，dl是电荷在电场中的路径微分，da是磁力线穿过曲面的面积微分。

磁场产生电场示意图

见上图，法拉第在实验中发现，当一个磁铁（上图右侧红色）靠近一个导线圈（上图左侧导体环）时，导线圈中会产生感应电流，且电流沿着线圈的导体环形流动。这是因为磁铁靠近时，线圈中的磁通量（即磁力线的数量）发生了变化，而且产生的电动势正比于磁通量的变化率。

磁场B产生涡旋电场E

见上图，麦克斯韦通过法拉第的实验结果，推断其原理：线圈电动势的产生是由于有一种电场力推动了电荷，因此变化的磁场B可以产生的是涡旋状的电场E。假如有个导体处于涡旋电场E之中，就会在导体中产生感应电流I，这个涡旋电场E的大小是正比于磁通量（即磁力线的数量）的变化率的。

法拉第定律

法拉第定律的数学表达：上面公式从右向左看，通过面积S曲面的磁场B的曲面积分，对时间t的微分结果，等于电场E对长度C的环形路径积分。换句话说，方程左边表示沿着一个闭合路径的电场路径积分，它可以表示这个闭合路径上的电动势；而右侧表示磁场变化率的面通量，即磁通量的变化率。

法拉第定律的物理意义：曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流。

法拉第定律更深层次的意义：变化的磁场可以产生电场，即磁生电。

4-麦克斯韦方程四：安培-麦克斯韦定律

安培-麦克斯韦定律

E是电场强度，B是磁感应强度，带enc下标的I是曲面包围的电流，dl是电荷在磁场中的路径微分，da是电场线穿过曲面的面积微分，dt是时间的微分，μ0表示真空磁导率常数，ε0是真空中的介电常数。

安培-麦克斯韦定律 安培-麦克斯韦定律

见上图，有电流I1、I2、I3（三者之和为公式中的Ienc）自下而上通过导体，以其为轴作一个周长为C的圆S，这个电流I产生了一个磁场B，磁场方向按照安培右手定则绕着导线。

安培-麦克斯韦定律最右边的运算，先积分后的结果，再进行微分

如果电流Ienc不是恒定的而是变化的，那么变化的电流也会产生一个附加的磁场，即磁感应强度B值会增加，增加的量就是上图中电场E在环面的面积积分对时间求导：计算方式是先求∮s E·da，其结果假设为y=∮s E·da，其结果再对时间求导即dy/dt，这个过程的意义就是电场E在环面的面积积分的变化率。

安培-麦克斯韦定律

安培-麦克斯韦定律的数学表达：上面公式从右向左看，电场强度E与该电场的曲面S的面积da的积分相乘的结果，再对时间t微分后，加上导体中通过的电流之和，等于磁场B在长度为C的环面上的路径积分。或者说，磁场B在闭合曲线S上的环量，等于该曲线环住的曲面S里的电流，加上电场E在该曲线环住的曲面S上的电通量（即穿过的磁力线数量）的变化率。

安培-麦克斯韦定律的物理意义：电流和变化的电场，都可以产生磁场。

安培-麦克斯韦定律更深层次的意义：电场可以产生磁场，即电生磁。

5-上面全部内容就是麦克斯韦方程组的积分形式，下面非常简单的介绍一下麦克斯韦方程组的微分形式：

麦克斯韦方程组的微分形式

5-1符号∇表示哈密顿算符：

哈密顿算符

见上图，在麦克斯韦方程组中，从带有→的x和y就能看出，哈密顿算符∇是一个矢量，在运算时，具有矢量和微分的双重身份。∇用于变量时可以得到该标量在空间中的梯度，梯度是一个矢量场，表示s面在空间内某个位置沿某个方向的变化量。

散度不为0、但旋度为0的向量场

5-2散度符号∇·，散度是指一个向量（即有方向的量，和矢量类似）场发散的程度：一个向量场E的散度是一个标量场（向量场的每一点有一个自己的散度），写作∇·E，点乘就是标量。如果一个点的散度为正，那么在这一点上E有向外发散的趋势；如果为负，那么在这一点上E有向内收敛的趋势。

旋度不为0、但散度为0的向量场

5-3旋度∇×，旋度是指一个向量场旋转的程度：一个向量场B的旋度是一个向量场（向量场的每一点有一个自己的旋度，而且是一个向量；这是因为旋转的方向需要标明出来），写作∇×B，叉乘就是向量。如果一个点的旋度不为0，那么在这一点上B有漩涡的趋势，而这个旋度的方向表明了旋转的方向。

5-4点乘符号“·”和叉乘符号“×”的区别：同样是乘法运算，但是二者的运算方法是不同的。对于两个非零向量a和b，点乘定义为：

a·b=|a||b|cosθ

其中θ是a和b之间的夹角。

对于两个非零向量a和b，它们的叉乘定义为：

|a×b|=|a||b|sinθ

5-5麦克斯韦方程组的两种形式的对比：麦克斯韦方程组的积分形式中四个方程，对体积进行微分dv，即可得到微分形式的方程，二者物理意义是相同的，区别在于微分形式是描述磁场和电场中的点，积分形式是描述磁场和电场中的线和面。

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麦克斯韦方程组和牛顿万有引力方程、爱因斯坦质能方程、薛定谔波函数方程一起，并称为人类历史上最伟大的物理学方程。麦克斯韦方程组阐述了一个基本原理：电场和磁场并非单独存在，而是统一于电磁场之中。

电磁波伴随的电场方向，磁场方向，传播方向，三者互相垂直

麦克斯韦推断：如果在真空中存在一个振荡的电场，那么在振荡电场的周围就会产生磁场，而这个磁场又会进一步产生电场…如此周而复始，电磁场形成电磁波并向无穷远传播。

麦克斯韦方程组的提出，使电磁学理论从定性的描述发展到了定量的计算，基于这一理论，人们可以计算和预测电磁现象的行为，从而更好地理解自然界的电磁规律。麦克斯韦方程组揭示了光的本质，通过对方程组的分析，麦克斯韦预测光就是一种电磁波，其传播速度与真空中的光速相同，这一理论得到了后来实验的验证，麦克斯韦也因此成为科学巨匠。

麦克斯韦方程组为电磁波的研究、电力科技和电子科技的发展奠定了基础。麦克斯韦方程组是现代科技的摇篮，可以说没有麦克斯韦方程组，就没有现在的发电机组、输电网络、电子技术和电子通讯等多门类应用科技。

黄公望的《富春山居图》

后记：麦克斯韦方程组以其高度的对称性和自洽性，被称为人类历史上最美的物理方程。而黄公望的《富春山居图》是中国十大传世名画之一，是展示山水画笔墨意蕴的佳作，被后人誉为“画中之兰亭”。二者同为鸿篇巨制，有很多类似之处。《富春山居图》中山水的线条细节描绘含蓄而细腻，类似于麦克斯韦方程中的微分；《富春山居图》整体布局雄浑壮阔，类似于麦克斯韦方程中的积分。

《富春山居图》黄公望将山水树木房舍等和现实生活紧密联系的景物按照中国传统审美标准进行合理而巧妙的布局，画中前后景物在构图上保持密切联系，体现出了天地万物的和谐与统一，空白处留给观者无限的联想和想象空间。麦克斯韦方程方程组也是如此，四个方程逻辑前后连贯、步步相扣，原理和谐统一、对称简约，而且还为光子的波动方程留有余地，为后来的相对论和量子电动力学的诞生和发展埋下了伏笔。

美是人类意识在大脑思维中的映射，那我们是不是可以得出结论，科学的美和艺术的美，要么是异曲同工，要么是融会贯通的？